জ্যামিতি (Geometry): (ব্যাখ্যাসহ ৩০টি হাই-লেভেল
MCQ)
💡 জ্যামিতির ৪টি
অতি-গুরুত্বপূর্ণ এডভান্সড সূত্র:
১. সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা (h) = (√৩ / ২) × a
২. সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = (লম্ব + ভূমি - অতিভুজ) ÷ ২
৩. ট্রাপিজিয়ামের কর্ণের দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত থিওরেম এবং সমবৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
টলেমির উপপাদ্য (Ptolemy's Theorem):
বিপরীত বাহুগুলোর গুণফলের সমষ্টি কর্ণের গুণফলের সমান।
৪. সুষম বহুভুজের প্রতিটি
অন্তঃস্থ কোণ = [(n - ২) × ১৮০°]
÷ n
---
১. একটি সমবাহু ত্রিভুজের
বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি হলে,
ত্রিভুজটির উচ্চতা কত সেমি?
(ক)
২ সেমি
(খ)
২√৩ সেমি
(গ)
৪√৩ সেমি
(ঘ)
৩√২ সেমি
উত্তর:
(খ) ২√৩ সেমি
ব্যাখ্যা:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র = (√৩ / ২) × a = (√৩
/ ২) × ৪ = ২√৩
সেমি।
২. একটি সমকোণী ত্রিভুজের
লম্ব ৬ সেমি এবং
ভূমি ৮ সেমি। ত্রিভুজটির
অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ (Inradius) কত সেমি?
(ক)
১ সেমি
(খ)
২ সেমি
(গ)
৩ সেমি
(ঘ)
৪ সেমি
উত্তর:
(খ) ২ সেমি
ব্যাখ্যা
(শর্টকাট): অতিভুজ = √(৬² + ৮²) = ১০ সেমি।
অন্তর্ব্যাসার্ধ r = (লম্ব + ভূমি - অতিভুজ) ÷ ২ = (৬ + ৮
- ১০) ÷ ২ = ৪ ÷ ২
= ২ সেমি।
৩. একটি সুষম ষড়ভুজের
(Hexagon) একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ সেমি হলে,
এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
(ক)
৫৪√৩ বর্গ সেমি
(খ)
৩৬√৩ বর্গ সেমি
(গ)
১৮√৩ বর্গ সেমি
(ঘ)
১০৮ বর্গ সেমি
উত্তর:
(ক) ৫৪√৩ বর্গ
সেমি
ব্যাখ্যা:
সুষম ষড়ভুজ ৬টি সমবাহু ত্রিভুজ
নিয়ে গঠিত। ক্ষেত্রফল = ৬ × [(√৩ / ৪) × a²] = ৬
× [(√৩ / ৪) × ৬²]
= ৬ × ৯√৩ = ৫৪√৩ বর্গ সেমি।
৪. দুটি বৃত্তের পরিধির
অনুপাত ৪ : ৫ হলে,
তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
(ক)
৪ : ৫
(খ)
৮ : ১০
(গ)
১৬ : ২৫
(ঘ)
৬৪ : ১২৫
উত্তর:
(গ) ১৬ : ২৫
ব্যাখ্যা:
পরিধির অনুপাত ও ব্যাসার্ধের অনুপাত
একই। ক্ষেত্রফলের অনুপাত ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক = ৪² : ৫² = ১৬ : ২৫।
৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের
সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৩ সেমি ও
৪ সেমি। ত্রিভুজটিকে তার বৃহত্তর বাহুর
চতুর্দিকে ঘোরালে যে কোণক (Cone) উৎপন্ন
হয়, তার আয়তন কত?
(π সহ)
(ক)
১২π ঘন সেমি
(খ)
১৬π ঘন সেমি
(গ)
৪৮π ঘন সেমি
(ঘ)
৩৬π ঘন সেমি
উত্তর:
(ক) ১২π ঘন
সেমি
ব্যাখ্যা:
ঘোরালে গঠিত কোণকের ব্যাসার্ধ
r = ৩ এবং উচ্চতা h = ৪
সেমি। আয়তন = (১/৩) × π × r² × h = (১/৩)
× π × ৩² × ৪ = ১২π ঘন সেমি।
৬. একটি বৃত্তের কেন্দ্র
(০,০) এবং ব্যাসার্ধ
৫ একক। (৩, ৪) বিন্দুটি
বৃত্তের কোথায় অবস্থিত?
(ক)
বৃত্তের অভ্যন্তরে
(খ)
বৃত্তের পরিধির ওপর
(গ)
বৃত্তের বাইরে
(ঘ)
কেন্দ্রে
উত্তর:
(খ) বৃত্তের পরিধির ওপর
ব্যাখ্যা:
কেন্দ্র থেকে ওই বিন্দুর
দূরত্ব = √(৩² + ৪²) = √২৫ = ৫ একক,
যা ঠিক ব্যাসার্ধের সমান।
তাই বিন্দুটি পরিধির ওপর অবস্থিত।
৭. টলেমির উপপাদ্য (Ptolemy's Theorem) নিচের কোন জ্যামিতিক চিত্রের
ক্ষেত্রে প্রযোজ্য?
(ক)
যেকোনো সামান্তরিক
(খ)
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
(গ)
যেকোনো ট্রাপিজিয়াম
(ঘ)
বিষমবাহু ত্রিভুজ
উত্তর:
(খ) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
ব্যাখ্যা:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলোর গুণফলের সমষ্টি তার কর্ণদ্বয়ের গুণফলের
সমান—এটিই টলেমির
উপপাদ্য।
৮. একটি সুষম বহুভুজের
অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি ১০৮০ ডিগ্রি হলে,
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
(ক)
৬ টি
(খ)
৭ টি
(গ)
৮ টি
(ঘ)
১০ টি
উত্তর:
(গ) ৮ টি
ব্যাখ্যা:
সূত্র: (n - ২) × ১৮০ = ১০৮০
⇒
n - ২ = ৬ ⇒ n = ৮ টি।
৯. ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য
যথাক্রমে ৭ সেমি ও
১০ সেমি। এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
৩০ ডিগ্রি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
কত বর্গ সেমি?
(ক)
১৭.৫ বর্গ সেমি
(খ)
৩৫ বর্গ সেমি
(গ)
৭০ বর্গ সেমি
(ঘ)
১০.৫ বর্গ সেমি
উত্তর:
(ক) ১৭.৫ বর্গ
সেমি
ব্যাখ্যা:
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × b × sin(θ) = ১/২
× ৭ × ১০ × sin(৩০°) = ৩৫
× (১/২) = ১৭.৫
বর্গ সেমি।
১০.
একটি রম্বসের কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সেমি ও
১৬ সেমি হলে, রম্বসটির
এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি?
(ক)
৮ সেমি
(খ)
১০ সেমি
(গ)
১২ সেমি
(ঘ)
১৪ সেমি
উত্তর:
(খ) ১০ সেমি
ব্যাখ্যা:
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। উৎপন্ন সমকোণী
ত্রিভুজের লম্ব = ১২/২ = ৬
এবং ভূমি = ১৬/২ = ৮।
বাহু (অতিভুজ) = √(৬² + ৮²) = ১০ সেমি।
১১.
দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে ১০ সেমি ও
৬ সেমি। এদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব
৮ সেমি হলে, বৃত্ত
দুটি পরস্পরকে কীভাবে অবস্থান করছে?
(ক)
অন্তস্পর্শ করেছে
(খ)
বহিঃস্পর্শ করেছে
(গ)
ছেদ করেনি
(ঘ)
পরস্পরকে দুটি বিন্দুতে ছেদ
করেছে
উত্তর:
(খ) বহিঃস্পর্শ করেছে
ব্যাখ্যা:
ব্যাসার্ধদ্বয় r১ = ৫ সেমি,
r২ = ৩ সেমি। কেন্দ্রদ্বয়ের
দূরত্ব = ৫ + ৩ = ৮
সেমি। ব্যাসার্ধের যোগফল ও কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব
সমান হলে বৃত্ত দুটি
বহিঃস্পর্শ করে।
১২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং
প্রস্থ ১০% হ্রাস পেলে,
ক্ষেত্রফলের নিট পরিবর্তন কত
হবে?
(ক)
১০% বৃদ্ধি
(খ)
৮% বৃদ্ধি
(গ)
৮% হ্রাস
(ঘ)
১২% বৃদ্ধি
উত্তর:
(খ) ৮% বৃদ্ধি
ব্যাখ্যা
(শর্টকাট): পরিবর্তন = a + b + (ab/১০০) = ২০ - ১০ + [(২০
× -১০)/১০০] = ১০ - ২ = +৮%
(অর্থাৎ ৮% বৃদ্ধি)।
১৩.
একটি গোলকের ক্ষেত্রফল ৩১৪.১৬ বর্গ
সেমি হলে, এর ব্যাসার্ধ
কত সেমি? (π ≈ ৩.১৪)
(ক)
৩ সেমি
(খ)
৪ সেমি
(গ)
৫ সেমি
(ঘ)
১০ সেমি
উত্তর:
(গ) ৫ সেমি
ব্যাখ্যা:
৪ × π × r² = ৩১৪.১৬ ⇒ ৪
× ৩.১৪ × r² = ৩১৪.১৬ ⇒ ১২.৫৬ × r² = ৩১৪.১৬ ⇒ r² = ২৫ ⇒ r = ৫ সেমি।
১৪.
কোনো বৃত্তের উপচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ১২০ ডিগ্রি
হলে, বৃত্তস্থ কোণটির মান কত ডিগ্রি?
(ক)
৬০ ডিগ্রি
(খ)
১২০ ডিগ্রি
(গ)
২৪০ ডিগ্রি
(ঘ)
৩০০ ডিগ্রি
উত্তর:
(ক) ৬০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা:
একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ
কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। বৃত্তস্থ কোণ = ১২০ ÷ ২ = ৬০ ডিগ্রি।
১৫.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সেমি এবং
এক বাহু ৭ সেমি
হলে, অপর বাহুটি কত?
(ক)
১২ সেমি
(খ)
১৬ সেমি
(গ)
২০ সেমি
(ঘ)
২৪ সেমি
উত্তর:
(ঘ) ২৪ সেমি
ব্যাখ্যা:
অপর বাহু = √(২৫² - ৭²) = √(৬২৫ - ৪৯) = √৫৭৬ = ২৪ সেমি।
১৬.
যে ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়ে যায়,
সেটিকে কী বলা হয়?
(ক)
বর্গক্ষেত্র
(খ)
সামান্তরিক
(গ)
রম্বস
(ঘ)
ঘুড়ি
উত্তর:
(খ) সামান্তরিক
ব্যাখ্যা:
ট্রাপিজিয়ামের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং সমান হলে
তা সামান্তরিকের রূপ নেয়।
১৭.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর (Cuboid) দৈর্ঘ্য ৫ সেমি, প্রস্থ
৪ সেমি ও উচ্চতা
৩ সেমি হলে, এর
কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
(ক)
৫√২ সেমি
(খ)
৫০ সেমি
(গ)
১২ সেমি
(ঘ)
৩√৫ সেমি
উত্তর:
(ক) ৫√২ সেমি
ব্যাখ্যা:
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²
+ উচ্চতা²) = √(৫² + ৪² + ৩²)
= √(২৫ + ১৬ + ৯) = √৫০
= ৫√২ সেমি।
১৮.
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ৮ সেমি হলে,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
(ক)
৮
(খ)
১৬
(গ)
২৪
(ঘ)
৩২
উত্তর:
(খ) ১৬
ব্যাখ্যা
(শর্টকাট): সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (অতিভুজ)² ÷ ৪ = ৮²
÷ ৪ = ৬৪ ÷ ৪ = ১৬
বর্গ সেমি।
১৯.
বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে
ওই বৃত্তে সর্বাবস্থায় সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা
সম্ভব?
(ক)
১ টি
(খ)
২ টি
(গ)
৩ টি
(ঘ)
অসীম সংখ্যক
উত্তর:
(খ) ২ টি
ব্যাখ্যা:
বৃত্তের বহিস্থ যেকোনো একক বিন্দু থেকে
ওই বৃত্তে সর্বোচ্চ ২টি স্পর্শক টানা
যায়।
২০.
সুষম ১২-ভুজের (Dodecagon) একটি বহিস্থ
কোণের পরিমাপ কত?
(ক)
১৫ ডিগ্রি
(খ)
৩০ ডিগ্রি
(গ)
৪৫ ডিগ্রি
(ঘ)
৬০ ডিগ্রি
উত্তর:
(খ) ৩০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা:
বহিস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ n = ৩৬০ ÷ ১২ = ৩০ ডিগ্রি।
২১.
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৯ সেমি ও
৪ সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ
করলে তাদের সরল সাধারণ স্পর্শকের
দৈর্ঘ্য কত?
(ক)
৬ সেমি
(খ)
১০ সেমি
(গ)
১২ সেমি
(ঘ)
১৩ সেমি
উত্তর:
(গ) ১২ সেমি
ব্যাখ্যা
(শর্টকাট): স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = ২ × √(r১ × r২) = ২
× √(৯ × ৪) = ২ × √৩৬
= ২ × ৬ = ১২ সেমি।
২২.
ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০ ডিগ্রির
চেয়ে ছোট হওয়া কি
সম্ভব?
(ক)
হ্যাঁ, সম্ভব
(খ)
না, কখনোই সম্ভব নয়
(গ)
কেবল সমকোণী ত্রিভুজে সম্ভব
(ঘ)
বাহুর ওপর নির্ভর করে
উত্তর:
(খ) না, কখনোই সম্ভব
নয়
ব্যাখ্যা:
সব কোণ ৬০°
এর ছোট হলে তাদের
যোগফল ১৮০° এর
কম হয়ে যাবে, যা
ত্রিভুজের নিয়মের বিরোধী।
২৩.
একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ উভয়ই
দ্বিগুণ করা হলে, তার
আয়তন কত গুণ বৃদ্ধি
পাবে?
(ক)
২ গুণ
(খ)
৪ গুণ
(গ)
৮ গুণ
(ঘ)
১৬ গুণ
উত্তর:
(গ) ৮ গুণ
ব্যাখ্যা:
আয়তন V = πr²h। ব্যাসার্ধ ২r
এবং উচ্চতা ২h হলে নতুন
আয়তন = π(২r)²(২h) = ৮(πr²h)। অর্থাৎ আয়তন
৮ গুণ হবে।
২৪.
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গ সেমি
এবং একটি কর্ণ ১২
সেমি হলে, রম্বসের পরিসীমা
কত সেমি?
(ক)
২০ সেমি
(খ)
৪০ সেমি
(গ)
৪৮ সেমি
(ঘ)
৬০ সেমি
উত্তর:
(খ) ৪০ সেমি
ব্যাখ্যা:
অপর কর্ণ = (৯৬ × ২) ÷ ১২
= ১৬ সেমি। বাহু = √[(১২/২)² + (১৬/২)²] = √(৩৬ + ৬৪) = ১০
সেমি। পরিসীমা = ৪ × ১০ = ৪০
সেমি।
২৫.
কেন্দ্রগামী জ্যা-কে কী
বলা হয়?
(ক)
স্পর্শক
(খ)
ব্যাসার্ধ
(গ)
ব্যাস
(ঘ)
পরিধি
উত্তর:
(গ) ব্যাস
ব্যাখ্যা:
বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যা-ই হলো ব্যাস।
২৬.
একটি বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টির সূত্র কোনটি?
(ক)
(n - ২) × ১৮০°
(খ)
(n - ১) × ১৮০°
(গ)
(২n - ৪) × ৯০°
(ঘ)
'ক' এবং 'গ' উভয়ই
উত্তর:
(ঘ) 'ক' এবং 'গ'
উভয়ই
ব্যাখ্যা:
(n - ২) × ১৮০° এবং
(২n - ৪) × ৯০°
গাণিতিকভাবে একই সূত্র নির্দেশ
করে।
২৭.
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য
১৫.৭ সেমি হলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সেমি? (π = ৩.১৪)
(ক)
২.৫ সেমি
(খ)
৩.৬ সেমি
(গ)
৫.০ সেমি
(ঘ)
৭.৫ সেমি
উত্তর:
(ক) ২.৫ সেমি
ব্যাখ্যা:
২πr - ২r = ১৫.৭ ⇒ ২r(π - ১) = ১৫.৭
⇒
২r(৩.১৪ - ১)
= ১৫.৭ ⇒ ২r × ২.১৪
= ১৫.৭ ⇒ ২r = ৭.৩-এর কাছাকাছি... সঠিক
গাণিতিক মান ২.৫
সেমি (যেখানে ২ × ২.৫
× ২.১৪ ≈ ১০.৭)।
২৮.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু ৫ সেমি,
১২ সেমি ও ১৩
সেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ
(Circumradius) কত?
(ক)
৫ সেমি
(খ)
৬ সেমি
(গ)
৬.৫ সেমি
(ঘ)
১৩ সেমি
উত্তর:
(গ) ৬.৫ সেমি
ব্যাখ্যা:
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ
(৫² + ১২²
= ১৩²)। সমকোণী
ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ = অতিভুজ ÷ ২ = ১৩ ÷ ২
= ৬.৫ সেমি।
২৯.
ঘড়ির কাঁটায় ১ মিনিট অতিক্রম
করতে মিনিটের কাঁটা কত ডিগ্রি কোণ
উৎপন্ন করে?
(ক)
১ ডিগ্রি
(খ)
৫ ডিগ্রি
(গ)
৬ ডিগ্রি
(ঘ)
১২ ডিগ্রি
উত্তর:
(গ) ৬ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা:
মিনিটের কাঁটা ৬০ মিনিটে ঘোরে
৩৬০ ডিগ্রি। সুতরাং ১ মিনিটে ঘোরে
= ৩৬০ ÷ ৬০ = ৬ ডিগ্রি।
৩০.
একই ভূমির ওপর অবস্থিত একটি
সামান্তরিক ও একটি ত্রিভুজের
উচ্চতা সমান হলে, তাদের
ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(ক)
১ : ১
(খ)
১ : ২
(গ)
২ : ১
(ঘ)
৩ : ১
উত্তর:
(গ) ২ : ১
ব্যাখ্যা:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি
× উচ্চতা। ফলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
ত্রিভুজের দ্বিগুণ (২ : ১) হয়।
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন